Характеристические свойства функций выбора

План лекции №4

1. Понятие характеристических свойств функций выбора
2. Свойство наследования (Н)
3. Понятие о свойствах обратного и дополнительного наследования
4. Свойство константантности (К)
5. Свойство отбрасывания (О)

Характеристические свойства показывают влияние деформаций предъявлений на результат выбора.

Частичное и обобщающее предъявления

Примеры деформаций предъявления:

Значение характеристических свойств

Характеристические свойства позволяют выделить классы функций выбора, внутри которых функции удовлетворяют определенному набору свойств, т.е. они необходимы для классификации и сопоставления различных функций и механизмов выбора.

Например, функции, обладающие свойствами наследования и согласия, составляют класс нормальных функций выбора.

Анализируя характеристические свойства, можно выявить эквивалентность классов функций выбора, описанных разными способами.

Например, класс функций Парето эквивалентен классу функций Слейтера.

Свойство наследования означает, что (для всех возможных случаев), если некоторый вариант х выбирается из некоторого (обобщающего) предъявления X, то он выбирается и из любого частичного предъявления X¹ ⊂ X, содержащего этот вариант.

Эквивалентная формулировка:

∀ (X, X¹ ⊂ X ), C(X¹) ⊇ C(X) /\ X¹

Свойство наследования (примеры)

1. Призеры Олимпиад относятся к лучшим спортсменам своей страны.

2. Товары, выбранные из большего ассортимента (когда больше возможностей для сравнения и выбора), тем более будут выбраны из содержащего их частичного ассортимента.

3. Примеры двухэлементных функций выбора, для которых свойство наследования выполняется:

4.Пусть x ∈ C({x,y,z}), тогда x ∈ C({x,y}), x ∈ C({x,z}), x ∈ C({x}).

Порядок проверки свойства Н

1. Зафиксировать некоторый вариант
2. Проверку следует начинать с самого большого предъявления, содержащего зафиксированный вариант
3. Проверить, выбирается ли зафиксированный вариант из всех соответствующих п.2 частичных предъявлений
4. Повторить п.3 для всех других предъявлений, содержащих зафиксированный вариант
5. Повторить пп.1-4 для всех других зафиксированных вариантов.

Пример проверки свойства Н

Пусть функция непустого выбора C( ) имеет следующее описание:

G = {1, 2, 3, 4};     C({i}) = {i};     C({i,j}) = {min[i,j]};    C(G) = {1}     C({i,j,k}) = {i,j,k}/{max[i,j,k]};

Частные случаи невыполнения свойства Наследования

1. Вариант выбирается при обобщающем предъявлении и не выбирается при частичном предъявлении, содержащем этот вариант.

2. Вариант не выбирается при частичном предъявлении, но выбирается при обобщающем предъявлении

3. Если множества X' и C(X) пересекаются, а С(X') и C(X) - не пересекаются

4. Вариант не выбирается при одиночном предъявлении, но выбирается при каком-нибудь обобщающем предъявлении.

Частные случаи предъявлений и результатов выбора, когда свойство Наследования не нарушается

1. Если при обобщающем предъявлении вариант выбирается, то этот вариант должен выбираться при любом частичном предъявлении, содержащем этот же вариант (в частности, и при одиночном предъявлении).

2. Если при некотором обобщающем предъявлении X выбор C(X) пуст, то соответствующие (X¹ ⊂ X) частичные предъявления можно не проверять.

3. Если множества C(X) и X' не пересекаются, то условия свойства Н можно не проверять

C(X¹) ⊇ C(X) /\ X¹ = ∅

Пересекающиеся и непересекающиеся частичные предъявления

Частичное предъявление, включающее в себя хотя бы один вариант результата выбора из обобщающего предъявления, называется пересекающимся.

Непересекающееся частичное предъявление:

Если в частичное предъявление не входит ни один вариант результата непустого выбора из обобщающего предъявления, то такое частичное предъявление называется непересекающимся.

Если при обобщающем предъявлении происходит отказ от выбора, то любое частичное предъявление называется особым.

Графическая иллюстрация пересекающихся и непересекающихся предъявлений

Прямое наследование

Если вариант выбирается при некотором обобщающем предъявлении, то он выбирается и при любом частичном предъявлении, содержащем этот вариант.

Обратное наследование

Если вариант выбирается при некотором многоэлементном частичном предъявлении, то он выбирается и при любом обобщающем предъявлении.

Выполнение свойства обратного наследования излишне ограничивает класс функций. (Многие функции одноэлементного выбора не удовлетворяют этому свойству).

Дополнительное наследование

Если в случае непустого выбора вариант НЕ выбирается при некотором обобщающем предъявлении, то он НЕ выбирается и при любом пересекающемся частичном предъявлении.

Двойственное наследование

Если вариант НЕ выбирается при некотором многоэлементном частичном предъявлении, то он НЕ выбирается и при любом обобщающем предъявлении.

Для функций непустого выбора свойство константантности эквивалентно одновременному выполнению свойств прямого и дополнительного наследования.

Свойство константантности является таким уточнением свойства наследования, при котором не допускается включать в результат выбора от частичного предъявления никакие дополнительные варианты.

Формулировка свойства Н : ∀ (X, X¹ ⊂ X ), C(X¹) ⊇ C(X) /\ X¹

Что произойдет, если в формуле просто исправить знак?

C(X¹) = C(X) /\ X¹

Если C(X) /\ X¹ = ∅ , то C(X¹) = ∅ !

Иллюстрация свойства К

Если непустой выбор C(X) и частичное предъявление Х' не пересекаются, то свойство К никак не ограничивает выбор С(Х').

Если для некоторого предъявления Х выбор С(Х) - пуст (происходит отказ от выбора) и свойство К выполняется, то для любого частичного предъявления Х' должен происходить отказ от выбора.

Частные случаи свойства Константантности

1. Если вариант НЕ выбирается при некотором обобщающем предъявлении, то он НЕ выбирается и при любом частичном предъявлении.

2. Если выбор С(Х) - пуст, а для некоторого подмножества X' данного предъявления выбор C(Х') - не пуст, то свойство К не выполняется.

3. Если выполняется свойство константантности К, то выполняется и свойство наследования Н.

4. Если не выполняется свойство Н, то и не выполняется свойство К.

5. Для функций одиночного выбора свойства наследования и константантности совпадают (Н = К ).

6. Механизм выбора по списку порождает функции выбора, удовлетворяющие свойству К.

Свойства Н и К для двухэлементных функций выбора

Порядок проверки свойства К

1. Зафиксировать некоторый вариант
2. Проверку следует начинать с самого большого (обобщенного) предъявления, содержащего зафиксированный вариант
3. Зафиксировать соответствующее п.2 пересекающееся частичное предъявление
4. Проверить, выбирается ли зафиксированный вариант из этого предъявления
5. Проверить условие обратного наследования
6. Повторить пп.3-5 для всех других пересекающихся частичных предъявлений
7. Повторить пп.2-6 для всех других обобщенных предъявлений
8. Повторить пп.1-7 для всех других зафиксированных вариантов.

Пример проверки свойства К

Механизмы выбора, порождающие функции выбора, удовлетворяющие свойству К:

1. Выбор по списку
2. Лексикографический многокритериальный выбор
3. Оптимизационный однокритериальный выбор

Выбор не изменяется при отбрасывании из предъявления отвергнутых вариантов.

Формулировка свойства О : ∀ {X, X¹ ⊂ X / C(X)} , C(X/X¹) = C(X)

Частные случаи свойства Отбрасывания

1. Если при удалении из предъявления отвергнутого варианта результат выбор изменяется, то свойство отбрасывания не выполняется.

2. Если выполняется свойство К, то выполняется и свойство О.

3. Если не выполняется свойство О, то не выполняется и свойство К.

4. Для функций одиночного выбора свойства отбрасывания, наследования и константантности совпадают.

5. Механизм выбора по списку порождает функции выбора, удовлетворяющие свойству О.