Свойства отбрасывания, согласия и Кондорсе

План лекции №5

1. Свойства наследования (Н) и константантности (К)
2. Свойство О – независимости от отбрасывания отвергнутых вариантов
3. Свойство согласия (С)
4. Понятие о свойствах Кондорсе
5. Прямое условие Кондорсе (УК+)
6. Обратное условие Кондорсе (УК-)
7. Принцип Кондорсе (ПК)
8. Логическое представление свойств функций выбора

Свойство наследования означает, что (для всех возможных случаев), если некоторый вариант х выбирается из некоторого (обобщаюшего) предъявления X, то он выбирается и из любого частичного предъявления X¹ ⊂ X, содержащего этот вариант.

Эквивалентная формулировка : ∀ (X, X¹ ⊂ X ), C(X¹) ⊇ C(X) /\ X¹

Частные случаи предъявлений и результатов выбора, когда свойство Наследования не нарушается

1. Пересекающееся частичном предъявление содержит хотя бы один вариант, выбранный из обобщающего предъявления . Этот же вариант должен быть выбран и из частичного предъявления.

2. Особое частичное предъявление соответствует обобщающему предъявлении X выбор C(X) из которого пуст. (Их можно не проверять, так как пустое множество является частью любого множества)

3. Если множества C(X) и X' не пересекаются, то условия свойства Н можно не проверять

C(X¹) ⊇ C(X) /\ X¹ = ∅

Свойство константантности (К)

Свойство константантности является таким уточнением свойства наследования, при котором не допускается включать в результат выбора от частичного предъявления (пересекающегося или особого) никакие дополнительные варианты.

Для непересекающихся частичных предъявлений Х' свойство К никак не ограничивает выбор С(Х').

Иллюстрация свойства К

Если непустой выбор C(X) и частичное предъявление Х' не пересекаются, то свойство К никак не ограничивает выбор С(Х').

Если для некоторого предъявления Х выбор С(Х) - пуст (происходит отказ от выбора) и свойство К выполняется, то для любого частичного предъявления Х' должен происходить отказ от выбора.

Порядок проверки свойства К

1. Зафиксировать некоторый вариант
2. Проверку следует начинать с самого большого (обобщенного) предъявления, содержащего зафиксированный вариант
3. Зафиксировать соответствующее п.2 пересекающееся частичное предъявление
4. Проверить, выбирается ли зафиксированный вариант из этого предъявления
5. Проверить условие обратного наследования
6. Повторить пп.3-5 для всех других пересекающихся частичных предъявлений
7. Повторить пп.2-6 для всех других обобщенных предъявлений
8. Повторить пп.1-7 для всех других зафиксированных вариантов.

Пример проверки свойства К

Механизмы выбора, порождающие функции выбора, удовлетворяющие свойству К:

1. Выбор по списку
2. Лексикографический многокритериальный выбор
3. Оптимизационный однокритериальный выбор

Выбор не изменяется при отбрасывании из предъявления отвергнутых вариантов.

Частные случаи свойства Отбрасывания

1. Если при удалении из предъявления отвергнутого варианта результат выбор изменяется, то свойство отбрасывания не выполняется.

2. Если выполняется свойство К, то выполняется и свойство О.

3. Если не выполняется свойство О, то не выполняется и свойство К.

4. Для функций одиночного выбора свойства отбрасывания, наследования и константантности совпадают.

5. Механизм выбора по списку порождает функции выбора, удовлетворяющие свойству О.

Свойства О, Н и К для двухэлементных функций выбора

Порядок проверки свойства О

1. Зафиксировать обобщающее предъявление
2. Найти результат выбора из этого предъявления
3. Зафиксировать частичное предъявление, содержащее найденный результат выбора
4. ЕСЛИ результат выбора из частичного предъявления не совпадает с результатом выбора из обобщенного предъявления, ТО свойство О не выполняется, ИНАЧЕ продолжить проверки
5. Выполнить пункты 3-5 для всех других частичных предъявлений, содержащих выбранные в п.2 варианты
6. Изменить зафиксированное обобщающее предъявление и повторить пункты 2-6

Пример проверки свойства О

Механизмы выбора, порождающие функции выбора, удовлетворяющие свойству О:

1. Выбор по списку
2. Лексикографический многокритериальный выбор
3. Оптимизационный однокритериальный выбор

Общая часть (пересечение) результатов выбора из двух ( или большего числа) предъявлений должна входить в результат выбора от объединения этих предъявлений

Для двухэлементных функций выбора свойство согласия выполняется всегда!

Частные случаи свойства Согласия

1. Если два предъявления не пересекаются, то свойство согласия для этих предъявлений выполняется автоматически.

2. Если результаты выбора для двух предъявлений не пересекаются, то свойство согласия для этих предъявлений выполняется автоматически.

3. Если выбор для одного из объединяемых предъявлений - пуст , то свойство С для таких предъявлений выполняется автоматически.

4. Если одно предъявление является частью другого предъявления, то свойство согласия для этих двух предъявлений выполняется автоматически.

5. Если некоторый вариант выбирается из двух различных предъявлений и не выбирается из их объединения, то свойство С не выполняется.

Порядок проверки свойства С

1. Зафиксировать некоторый вариант
2. Зафиксировать некоторое частичное предъявление
3. Зафиксировать второе частичное предъявление
4. ЕСЛИ вариант выбирается из того и другого частичных предъявлений И не выбирается из объединения этих предъявлений, ТО свойство С не выполняется, ИНАЧЕ проверять дальше
5. Изменить второе частичное предъявление и повторить пункты 3-5
6. Изменить первое частичное предъявление и повторить пункты 2-6
7. Изменить зафиксированный вариант и повторить пункты 1-7

Примеры проверки свойства С для функция непустого выбора

Механизмы выбора, порождающие функции, удовлетворяющие свойству С

1. Выбор по списку
2. Лексикографический многокритериальный выбор
3. Оптимизационный однокритериальный выбор
4. Многокритериальные механизмы Парето и Слейтера
5. Механизмы попарных предпочтений и блокировок

Ослабление свойств наследования или согласия

(Кондорсе Ж.А. (1743 - 1794) - маркиз, непременный секретарь Французской Академии Наук; энциклопедист; будучи членом Законодательного собрания, внес проект народного образования – принципы: всеобщности, бесплатности, светскости. Как сторонник жирондистов был обвинен правительством Робеспьера в заговоре и приговорен к смертной казни. Некоторое время скрывался, но был арестован и в тюрьме в знак протеста покончил жизнь самоубийством.)

Прямое условие Кондорсе (УК⁺) означает, что, ЕСЛИ вариант х выбирается из двухэлементных предъявлений (при попарном сравнении), ТО он выбирается и из объединения всех (или части) рассмотренных вариантов.

Обратное условие Кондорсе (УК_-) означает, что,ЕСЛИ вариант х выбирается из некоторого многоэлементного обобщенного предъявления, ТО он выбирается и из двухэлементных частичных предъявлений (при попарном сравнении с другими вариантами).

Принцип Кондорсе (ПК) означает выполнение и прямого (УК⁺), и обратного (УК_-) условий Кондорсе.

Правила перехода от теоретико-множественного описания свойств к их логическому описанию:

1. Множества представляются с помощью логических векторов.
2. Объединению множеств соответствует покомпонентная логическая операция "ИЛИ".
3. Пересечению множеств соответствует покомпонентная логическая операция "И".
4. Если множество Y является частью множества X, то соответствующий логический вектор y покомпонентно меньше или равен логического вектора х. ( Y ⊆ X ←→ y ≤ x )
5. Если множества равны, то равны соответствующие им логические вектора.

Примеры логической записи свойств