Координатные отношения и примеры векторных оптимизационных механизмов выбора

План лекции №19

1. Отношения Парето и Слейтера. Многокритериальные механизмы Парето и Слейтера
2. Многокритериальное правило выбора Парето
3. Многомерно-матричное представление многокритериальных механизмов

Отношение Парето можно рассматривать как структуру в механизме попарных блокировок. Этот частный случай называется механизмом Парето а результатом выбора являются «эффективные оценки».

Описание отношения векторного предпочтения:
    a R2 b ↔ a_i ≥ b_i , для всех i = 1 .. m , но a ≠ b.

Это описание означает, что отношение Парето R2 является асимметричной частью отношения векторного предпочтения R1 : R2 = (R1)^ас.

Механизм Парето как частный случай механизма блокировок выбирает те варианты, для которых не существует другого, но лучшего варианта. Такие варианты называются эффективными решениями.

Пример 2: функция и отношение Парето

Примеры 3, 4 отношения Парето (R2)

Пример 3.

Пример 4.

Как построить отношение Парето по блокировочным отношениям критериев?

Свойства отношения Парето (R2)

Описание отношения Парето:
    a R2 b ↔ a_i ≥ b_i , для всех i = 1 .. m , но a ≠ b.

1. Антирефлексивность

2. Асимметричность

3. Отношение Парето является асимметричной частью отношения векторного предпочтения
    R2 = (R1)^ас

4. Транзитивность
    Асимметричная часть транзитивного отношения является транзитивным отношением.

5. Ацикличность (Следствие свойств Т и АР)

6. Отношение Парето совпадает с асимметричной частью объединения блокировочных отношений отдельных критериев.

Порядок построения отношения Парето

а) по значениям векторного критерия

1. Если векторные оценки двух сравниваемых вариантов совпадают, то они никак не соединяются.
2. Если разные компоненты векторных оценок двух сравниваемых вариантов противоречивы, то варианты никак не соединяются.
3. Если разные компоненты векторных оценок двух сравниваемых вариантов непротиворечивы и указывают на превосходство одного варианта над другим, то варианты соединяются дугой от второго варианта к первому.

б) по блокировочным отношениям отдельных критериев

1. Найти объединение блокировочных отношений критериев
2. Удалить образовавшиеся кольца.

Двухкритериальный индикатор 0 для механизма Парето

Индикаторы позволяют графически отображать процесс выбора двухкритериальными механизмами. Если разместить овал в некотором варианте и ни один из других вариантов не окажется внутри первой четверти, то отмеченный вариант выбирается механизмом Парето.

Двухкритериальный индикатор 2 для механизма Парето

Вариант 2 уступает вариантам 3 и 5 по обоим критериям, поэтому он не может быть эффективным решением!

Двухкритериальный индикатор 5 для механизма Парето

Вариант 5 не уступает никаким вариантам поэтому он является эффективным решением!

Если эффективное решение критериально не единственно, то наилучшая оценка не существует!

Если эффективное решение критериально единственно, то это наилучшая оценка!

Свойства механизма Парето

1. Так как отношение Парето является ациклическим, то в случае конечного множества вариантов всегда реализуется непустой выбор.
2. Механизм Парето сводится к механизму попарной блокировки, поэтому он порождает нормальные функции выбора.
3. Отношение Парето R2 является транзитивным, поэтому порождаемые функции выбора обладают свойствами НСО.
4. Оно обладает свойствами транзитивности и антирефлексивности.
5. «Наилучшие оценки», если они существуют, являются частным случаем «эффективных оценок».

Критериальная и параметрическая неединственность решений

1. Механизм выбора наилучших решений (МВНР) при непустом выборе дает критериально единственные решения.
2. Если эффективное решение (решение Парето) удовлетворяет свойству критериальной единственности, то оно является наилучшим (МВНР).
3. «Наилучшие оценки», если они существуют, являются частным случаем «эффективных оценок».

Отношение Слейтера можно рассматривать как структуру в механизме попарных блокировок. Этот частный случай называется механизмом Слейтера а результатом выбора являются «слабо эффективные оценки».

Описание отношения Слейтера :
    a R3 b ↔ a_i > b_i , для всех i = 1 .. m.

Это описание означает, что отношение Слейтера R3 является некоторой частью отношения Парето R2 :
    R3 ⊆ R2

Механизм Слейтера как частный случай механизма блокировок выбирает те варианты, для которых не существует варианта, строго лучшего по всем критериям. Такие варианты называются слабоэффективными решениями.

Пример 5: функция и отношение Слейтера

Примеры 6, 7 отношения Парето (R2)

Пример 6. R3 ⊂ R2

Пример 7. R3 = R2

Как построить отношение Слейтера по блокировочным отношениям критериев?

Свойства отношения Слейтера (R3)

Описание отношения Слейтера:
    a R3 b ↔ a_i > b_i , для всех i = 1 .. m.

1. Антирефлексивность

2. Асимметричность

3. Отношение Слейтера является частью отношения Парето
    R3 ⊂ R2

4. Транзитивность
    Вытекает из транзитивности числового отношения >.

5. Ацикличность (Следствие свойств Т и АР)

6. Отношение Слейтера совпадает с пересечением блокировочных отношений отдельных критериев.

Порядок построения отношения Слейтера

а) по значениям векторного критерия

1. Если хотя бы одна компонента векторных оценок двух сравниваемых вариантов совпадает, то они никак не соединяются.
2. Если разные компоненты векторных оценок двух сравниваемых вариантов противоречивы, то варианты никак не соединяются.
3. Если все компоненты векторных оценок двух сравниваемых вариантов указывают на превосходство одного варианта над другим, то варианты соединяются дугой от второго варианта к первому.

б) по блокировочным отношениям отдельных критериев

1. Найти пересечение блокировочных отношений критериев

Двухкритериальный индикатор для механизма Слейтера

Этот пример подобран специально для иллюстрации отличий механизма Слейтера от механизма Парето. Варианты 2 и 5 не выбираются механизмом Парето!

Свойства механизма Слейтера

1. Так как отношение Слейтера является ациклическим, то в случае конечного множества вариантов всегда реализуется непустой выбор.
2. Механизм Слейтера фактически является двойственным к объединению однокритериальных механизмов предпочтения, использующих каждый критерий в отдельности. Так как свойства наследования и\или согласия при пересечении сохраняются, то механизм Слейтера порождает нормальные функции выбора.
3. Отношение Слейтера R3 является транзитивным, поэтому порождаемые функции выбора обладают свойствами НСО.
4. Оно обладает свойствами транзитивности и рефлексивности.
5. «Эффктивные оценки» являются частным случаем «слабоэффективных оценок».

Сравнение многокритериальных механизмов выбора

Последние два механизма эквивалентны не только в смысле упомянутых свойств, но и в смысле их взаимного преобразования.

ЛПР может изменять свои представления о важности критериев. Поэтому нужно сохранять критериальныеоценки вариантов.
В то же время для обоснования выбора вариантов более удобно использовать отношения.
Компромисс достигается путем использования трехмерной матрицы, два измерения которой отображают варианты, а третье - критерии.
Фактически трехмерная матрица является агрегированием двумерных матриц отношений, построенных для каждого критерия в отдельности
Четвертое измерение может добавиться при учете мнений различных экспертов.

Трехмерная матрица

Таблица количества предпочитаемых критериев

Таблица множеств предпочитаемых критериев