Декартово произведение нечетких множеств – это нечеткое множество всех возможных кортежей, составленных из элементов исходных множеств, функция принадлежности которых вычисляются по соотношениям:
m(x1, x2, ... , xn) = min { m1(x1), m2(x2), ... ,mn( xn)}
Пример. Декартово произведение С нечеткого множества А ="хороший студент" на нечеткое множество В = "здоровый студент", (С = A X B )
Нечетким отношением называется нечеткое подмножество декартова произведения доменов, характеризующееся функцией принадлежности.
Функция принадлежности подмножества связана с функцией принадлежности включающего его множества неравенством: mG <= mA .
Домены могут быть обычными множествами. когда отличие нечеткого отношения от обычного сводится к появлению дополнительного атрибута – значения функции принадлежности.
Нечеткое отношение над нечеткими множествами отличается от нечеткого отношения над четкими множествами тем, что в первом случае функция принадлежности ограничена значениями функций принадлежности исходных нечетких множеств.
Нечеткое отношение называется бинарным, если оно является обобщением обычного бинарного отношения с добавлением функции принадлежности. Пример:
Бинарное нечеткое отношение - это трехместное отношение, являющееся подмножеством декартова произведения множеств Х * Х * М, где Х - исходное множество (вершины графа), М - множества чисел от 0 до 1 (степени принадлежности дуг между вершинами).
Если матрица обычного бинарного отношения состоит из нулей и единиц, то матрица бинарного нечеткого отношения содержит произвольные неотрицательные элементы mi,j , не большие 1 .
Числовое нечеткое отношение R = "много больше" ( xRy )
Графиками уровня Ха удобно пользоваться при формулировке и анализе некоторых задач принятия решений. Очевидны следующие правила работы с графиками уровня нечетких множеств:
( Х \/ Y )a = Xa \/ Ya ( Х /\ Y )a = Xa /\ Ya
Графики уровня бинарного нечеткого отношения определяются аналогично:
график Ra уровня a отношения R является обычным бинарным отношением, связывающим все пары, для которых степень принадлежности не меньше а.
График минимального уровня называется носителем бинарного отношения.
Рефлексивность (Р) и антирефлексивность (АР)
Нечеткое отношение называется рефлексивным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию ( m(x,x) = 1 ), для всех вариантов x .
Симметричность, антисимметричность, асимметричность
Нечеткое отношение называется симметричным, если его матрица отношения симметрична (m(x,y)=m(y,x) ) , для всех вариантов x, y , где m(x,y) - функция принадлежности.
Это значит, что пересечение исходного и инверсного отношений совпадает с исходным отношением.
Примером симметричного нечеткого отношения является отношение "сильно различаться по величине".
Нечеткое отношение называется асимметричным, если асимметрична его матрица отношения ( m(x,y) * m(y,x) = 0 ), для всех вариантов x, y . Это значит, что пересечение исходного и инверсного отношений является пустым отношением.
Примером асимметричного нечеткого отношения является отношение "много больше".Всякое асимметричное отношение является антирефлексивным.
Нечеткое отношение называется антисимметричным, если антисимметрична его матрица отношения ( m(x,y) * m(y,x) = 0 ), для всех несовпадающих вариантов x, y . Антисимметричность никак не связана с АР.
Из всякого отношения легко выделить егосимметричную часть Rs, функция принадлежностикоторой ms(x,y) вычисляется по формуле:
ms(x,y) = min { m(x,y), m(y,x) }
Другими словами, симметричная часть отношенияявляется пересечением инверсного и исходногоотношения.
Асимметричной частью Ras нечеткого отношения R называется разность между исходным отношением и его симметричной частью. Другими словами, асимметричная часть отношенияявляется разностью исходного и инверсногоотношения.
Операции объединения \/ и пересечения /\ нечетких отношений определяются аналогичносоответствующим операциям для нечетких множеств.
Матрицы объединения и пересечения бинарныхнечетких отношений вычисляются поэлементно с учетом правил:
Матрицу принадлежности инверсного отношения вычисляют путем транспонирования матрицы принадлежности исходного отношения.
Двойственным отношением называется дополнение инверсного исходного бинарного нечеткого отношения.
Композицию можно определить разными способами:
1. Максиминное произведение отношений (*1)
2. Минимаксное произведение отношений (*2)
Горизонтальным сечением ( Rx ) бинарного нечеткого отношения R называется нечеткое множество с функцией принадлежности, построенной из значений функции принадлежности второго атрибута, когда первый атрибут равен x.
Вертикальным сечением ( Ry ) бинарного нечеткогоотношения R называется нечеткое множество с функцией принадлежности, построенной из значений функции принадлежности первого атрибута, когда второй атрибут равен y.
Другими словами: функция принадлежности для Rx совпадает со строкой матрицы отношения, а функция принадлежности для Ry совпадает со столбцом матрицы отношения.
Проекции получаются путем объединениявсех соответствующих сечений (горизонтальных или вертикальных).
Нечетким максимумом рефлексивного нечеткогоотношения называется пересечение его вертикальных сечений.
Нечеткой мажорантой антирефлексивного нечеткого отношения называется дополнение горизонтальной проекции его асимметричной части Ras.
Принцип преемственности: носительмаксимума нечеткого отношения совпадает cмаксимумом носителя этого отношения!