Методы построения нечетких функций полезности. Декомпозиция нечетких функций полезности

План лекции №25

1. Описание нечетких чисел и интервалов с помощью коэффициентов нечеткости
2. Представление термов лингвистических переменных
3. Основные понятия нечеткой логики
4. Основные этапы нечеткого вывода
5. Пример декомпозиции нечеткой функции полезности

Понятие коэффициентов нечеткости. Коэффициенты нечеткости являются средством описания нечетких чисел и интервалов. Они характеризуют степень размытости границ соответствующих нечетких множеств. Для задания любого нечеткого множества необходимо иметь описания:
1. Области определения (основы),
2. Ядра (m = 1),
3. Границ (m < 1)
Для нечетких чисел и интервалов основа является числовым множеством.
Ядро нечеткого интервала является четким интервалом [a, b].

Пример нечеткого трапециевидного интервала.

Пример нечеткого треугольного числа

Это частный случай нечеткого интервала при a = b
Поэтому описание нечеткого числа состоит из трех чисел: (a,a,c,d) = (a,c,d )

Операции над нечеткими интервалами [x, y, a, b]:

Примеры операций над нечеткими интервалами :

Представление термов лингвистических переменных в виде нечетких интервалов и чисел

Элементарные нечеткие высказывания аналогичны четким логическим высказываниям, но отличаются от них тем, что судить об их истинности или ложности можно только с некоторой степенью уверенности.
Таким образом, вместо 2-х значений истинности ("истина", "ложь") используется целый интервал значений [0, ... , 1].
Сложные нечеткие высказывания получаются в результате использования логических операций (конъюнкции - "И", дизъюнкции -"ИЛИ", отрицания - "НЕ"), которые сводятся к формулам преобразования степеней истинности, аналогичным преобразованиям степеней принадлежности для, соответственно, пересечения, объединения, дополнения нечетких множеств.

Элементарные нечеткие высказывания аналогичны четким логическим высказываниям, но отличаются от них тем, что судить об их истинности или ложности можно только с некоторой степенью уверенности.

1. Формирование базы правил
2. Фаззификация входных переменных
3. Агрегирование подусловий
4. Активизация подзаключений, их аккумулирование
5. Дефаззификация выходных переменных

Пример. Упрощенная задача поиска неисправностей в автомобиле

1. База правил формируется на основе опыта механика и представляется нечетким отношением
2. Результаты фаззификации проблем представлялись нечетким множеством
3. Агрегирование подусловий
4. Активизация подзаключений, их аккумулирование
5. Дефаззификация выходных переменных

Этап 3 сводится в данном случае к составлению системы уравнений x *R = y по столбцам матрицы принадлежностей нечеткого отношения R:
Этап 4 сводится к преобразованию и решению
полученной системы уравнений: max{x1,min[0.8,x2],min[0.7,x3],x4} = 0.9 max{x1, x4} = 0.9
Этап 5 сводится к выбору результата, который с большой долей уверенности указывает на неисправность аккумулятора.

Типовая структура системы нечеткого логического вывода

Варианты:
Сильно увеличить подачу горячей воды
Немного увеличить подачу горячей воды
Не изменять подачу горячей воды
Немного уменьшить подачу горячей воды
Сильно уменьшить подачу горячей воды

Критерий: температура воды на выходе смесителя.

База нечетких лингвистических правил:
ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "вода горячая " ТО "сильно уменьшить подачу горячей воды "
ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "вода не очень горячая" ТО "немного уменьшить подачу горячей воды"
ПРАВИЛО_3: ЕСЛИ "вода теплая" ТО "не изменять подачу горячей воды "
ПРАВИЛО_4: ЕСЛИ "вода прохладная" ТО "немного увеличить подачу горячей воды"
ПРАВИЛО_5: ЕСЛИ "вода холодная" ТО "сильно увеличить подачу горячей воды"

Термы и функции принадлежности первой лингвистической переменной (критерия):

Термы и функции принадлежности второй лингвистической переменной (вариантов):

Фаззификации первой лингвистической переменной (критерия)

Пусть текущая температура составляет 55°С
Тогда результат фаззификации первой лингвистической переменной (критерия) представляется следующей таблицей принадлежности:

Этап агрегирования подусловий не изменяет этой таблицы, так как подусловия отсутствуют.

Активизация правил 2 и 3

2.Немного уменьшить подачу горячей воды = 0.5
3.Не изменять подачу горячей воды = 0.5

Аккумулирование заключений нечетких правил можно выполнить путем вычисления полусуммы соответствующих нечетких величин.
В результате получим нечеткую величину "угол поворота вентиля крана"=(13.5, 13.5, 22.5, 22,5)
Дефаззификация величины (13.5, 13.5, 22.5, 22.5) дает приблизительный результат: угол поворота вентиля крана = 13.5°.